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---- 已知三角形ABC的高AD、BE交于H，F是BC中点且AD=BC。求证：FC＝HF＋HD (http://www.7742180.com/bbs/dispbbs.asp?boardid=7&id=969)
-- 发布时间：2011/11/12 19:10:17
-- 已知三角形ABC的高AD、BE交于H，F是BC中点且AD=BC。求证：FC＝HF＋HD
此主题相关图片如下：
∵AD、BE是高
∴AD⊥BC，BE⊥AC
∴∠CAD＋∠C＝∠CBE＋∠C＝90°
∴∠CAD＝∠CBE
∵∠ADC＝∠BDH
∴△ADC∽△BDH
∴CD/HD＝AD/BD
∴CD•BD＝AD•HD
∵AD＝BC
∴CD•BD＝BC•HD
∴(FC+DF)(BF-DF)=BC•HD
∵F为BC的中点
∴BF＝CF
∴(FC+DF)(FC-DF)=BC•HD
∴FC2-DF2=2FC•HD
移项得FC2-2FC•HD=DF2
两边同加上HD2得FC2-2FC•HD+HD2＝HD2+DF2
即(FC-HD) 2＝HD2+DF2
根据勾股定理有HD2+DF2＝HF2
∴(FC-HD) 2＝HF2
∴FC－HD＝HF
∴FC＝HF＋HD